Любой, кто хоть один раз пользовался интернетом, писал в строке браузера адрес сайта. Кстати, браузер это программа с помощью которой вы выходите в интернет (Internet Explorer, Mozilla Firefox, Opera - самые популярные браузеры на момент написания статьи). Итак, вы пишете адрес сайта в строке браузера. Этот адрес и есть доменное имя сайта, вот так все просто.
Немного справочной информации:

Домен - это область пространства в сети интернет определенная доменным именем.
Доменное имя - символьное имя домена. Домены определяются уровнями. Разделение уровня домена происходит точкой. Например, домен design.web-kursk.ru является доменом третьего уровня, основной домен получается web-kursk.ru. Доменное имя web-kursk.ru является именем второго уровня, где верховный домен это географическая доменная зона .ru.
Доменная зона - это совокупность всех доменов всех уровней входящих в определенный домен, например национальный .ru.
Международные домены
Это доменные зоны доступные к регистрации всех лиц живущих на планете.
Например, домены .org, .biz, .com, .net и т.д.
Интернационализованные домены
Доменные имена, которые содержат символы национальных алфавитов. Например, Кириллические домены в нашей стране: веб-курск.ru
Национальные домены
Национальные домены верхнего уровня, которые обозначают географическую принадлежность. Например, Россия - ru; Украина - ua; Казахстан - kz.
Зарегистрировать домен можно у хостинг провайдера, что очень удобно, либо напрямую у регистратора домена. В Росии есть 20 компаний имеющих лицензии на регистрацию доменов.
При заказе на разработку сайта в нашей компании, мы, экономя ваше время, зарегистрируем домен и хостинг своими силами.
